べん毛モーターの回転計測において，慣性力，遠心力は考慮すべきか？

運動方程式からの検討

運動方程式は，慣性力，粘性力，弾性力で表現できますが，水溶液はニュートン流体を考えますので，弾性要素は無視します．

\( \Large \displaystyle m \frac{d^2 x}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt} =0 \)

ここで，
　m　：　質量 [kg]
　γ　：　粘性抵抗係数 [N・s/m]
　ν　：　動粘性係数 [m²/s]
となります．また，

\( \Large \displaystyle \tau \equiv \frac{m}{\gamma} \rightarrow \left[ \frac{kg}{Ns/m} \right]=\left[ kg \cdot \frac{m}{s} \cdot \frac{s^2}{m \cdot kg} \right] =[s] \)

を定義します．τは時定数と呼ばれ，次元は，[s]，です．

運動方程式，

\( \Large \displaystyle m \frac{d^2 x}{dt^2} + \gamma \frac{dx}{dt} =0 \)

は，

\( \Large \displaystyle m \frac{d v}{dt} + \gamma \ v =0 \)

と速度で考えると，一階微分となり，簡単になります．

\( \Large \displaystyle \frac{d v}{dt} = - \frac{1}{ \tau} v \)

\( \Large \displaystyle v = C \cdot exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right)\)

初期条件，\( \Large \displaystyle t=0 \rightarrow v=v_0 \)，を代入すると，

\( \Large \displaystyle v = v_0 \cdot exp \left( - \frac{t}{ \tau} \right)\)

と指数関数的に速度は減少し，その時の時定数はτ=m/γとなります．したがって，τが慣性力と粘性力との指標の時間スケールとなります．

ミクロのスケールにおいては，半径ｒの球の粘性抵抗係数γは，ストークスの法則から，6πηｒとなるので，

\( \Large \displaystyle \tau = \frac{m}{ \gamma} = \frac{4/3 \cdot \pi r^3 \cdot \rho}{6 \pi \eta r}= \frac{2}{9} \frac{ \rho}{ \eta} r^2 \)

水溶液中のポリスチレンビーズの運動を考えるので，

\( \Large \displaystyle r = 0.5 \ \mu m = 5 \times 10^{-7} \ [m] \)

\( \Large \displaystyle \rho = 1.05 \left[ \frac{g}{cm^3} \right] =1.05 \times 10^3 \left[ \frac{kg}{m^3} \right] \)

\( \Large \displaystyle \eta = 10^{-3} \ [Pa \cdot s] \)

を使うと，

\( \Large \displaystyle \tau = \frac{2}{9} \frac{ \rho}{ \eta} r^2 = \frac{2}{9} \frac{1.05 \times 10^3 \left[ \frac{kg}{m^3} \right]}{10^{-3} \ [Pa \cdot s]} \cdot
\left( 5 \times 10^{-7} \ [m] \right)^2 = 5.83 \times 10^{-8} [s] \sim 0.06 \ \mu s\)

となり，非常に短い時間で減衰することになります．

顕微鏡用の高速度カメラの例として，

があるが， 最高900,000コマ/秒 を実現していますが，1マイクロ秒です．したがって慣性力は無視しても構わないことになります．

次ページには，遠心力，の影響を検討していきます．